Che cos’è l’equazione differenziata? In analisi matematica è un’equazione che unisce una funzione incognita alle sue derivate e viene presentata i diverse formule:
– equazione delle derivate parziali quando contiene derivate parziali della funzione;
– equazione differenziale ordinaria se la funzione è di una sola variabile.
La storia dell’equazione differenziale
La storia dell’equazione differenziale ha inizio dopo l’introduzione, nel XVII secolo, del calcolo infinitesimale da parte di Leibniz e Newton. Proprio nel secondo capitolo di un trattato del 1671 di Isaac Newton, Methodus fluzionum et Serierum Infinitarum, il discorso si focalizza su tre tipi di equazioni di primo grado: una con derivate parziali e due ordinarie. Un altro contributo molto importante riguardo all’equazione differenziale arriva da due fratelli, Jacob e Johann Bernoulli. Nel 1695 , infatti, inizieranno ad occupasi dell’equazione che oggi è conosciuta come equazione differenziale di Bernoulli. La stessa per cui Leibniz, nel 1696 otterrà le soluzioni semplificandola a equazione lineare. Da questa momento gli studi continuano ad evolversi e verrà risolto il problema della curva brachistocrona, quello della corda vibrante e, nel 1746 si arriva ad affrontare l’equazione delle onda monodimensionale, grazie a d’Alambert. Di seguito Eulero con Lagrange svilupperanno l’equazione di Eulero-Lagrange, essenziale per la meccanica lagrangiana. Nel 1822 Fourier risolve l’equazione del calore.
A cosa serve l’equazione differenziale?
Questo tipo di equazione è fra le più studiate in matematica perché ha un ruolo fondamentale nell’ambito matematico di scienza e ingegneria. Ad esempio possono descrivere una situazione in cui una certa quantità f varia rispetto al tempo e in un modo che dipende dal valore della quantità stessa in quel determinato momento. Questo avviene perché nell’equazione è presente sia la funzione incognita f sia la derivata in rapporto al tempo df/dt.
Tuttavia è impossibile avere una forma analitica della soluzione o, comunque, una formulazione in “termini di funzione elementari” ed è per questo che vengono studiate l’unicità e l’esistenza delle soluzioni e il relativo comportamento in contesti di particolare importanza. L’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale è definito integrale generale dell’equazione differenziale data. Ad influenzare fortemente lo studio delle equazioni differenziali è stata la necessità di analizzare problemi concreti coinvolgendo diversi ambiti come analisi numerica, analisi funzionale e algebra lineare.
L’equazione differenziale è analizzata dando un valore preciso ad alcune variabili: funzione incognita e le sue derivate in “certi punti del dominio di definizione dell’equazione stessa”. Il problema che ne risulta è definito “problema di Cauchy” e consiste nel porre condizioni al contorno, o condizioni iniziali, per gli estremi del dominio dove è definita l’equazione. Se l’equazione è definita su una superficie, dare le condizioni al contorno vuol dire fornire il valore della funzione o della sua derivata confronto alla direzione normale alla frontiera. Questa assegnazione viene definita condizione al contorno di Cauchy e serve ad imporre sia le condizioni di contorno di Neuman che le condizioni di contorno di Dirichlet.
Varianti
In matematica esiste anche l’equazione differenziale algebrica detta anche DAE ed è una forma in cui le derivate non sono espresse esplicitamente. Questo sistema è utile per descrivere le classi di sistemi fisici più ampi di quelli definiti con il sistema dinamico poiché prevede la possibilità di vincoli algebrici sulle variabili di stato.