Per iperbole, in geometria, s’intende una delle sezioni coniche. Nel caso della geometria proiettiva si fa riferimento all’intersezione di un cono retto con un piano che lo taglia in entrambe le sue falde. Nella geometria euclidea identifica il luogo geometrico dei punti del piano in modo che sia costante la differenza delle distanze dai fuochi. Nella geometria analitica, invece, rappresenta una curva del piano cartesiano. L’equazione dell’iperbole, in alcuni casi particolari, si specializza e si semplifica.
In geometria l’iperbole, o curva aperta, è composta da due rami straccati e prolungati all’infinito e si ottiene dividendo un cono circolare con un piano parallelo e due generatrici. Se questo piano passa per il vertice del cono si ottiene una iperbole degenere formata dalle due generatrici del cono. Con iperbole si indica una curva piana del 2° ordine e rappresenta un’equazione di 2°grado con le coordinate cartesiane x, y.
Dal punto di vista geometrico, quando si parla di diseguaglianza si fa riferimento alla iperbole che incontra la retta all’infinito in due punti distinti e reali. Per rendere più facile la cosa possiamo dire che ogni ramo della curva si prolunga in modo indefinito nella direzione di due rette distinte che sono definite asintoti dell’iperbole. Questo vuol dire che i due rami si uniscono nei punti dei due asintoti. Per questo motivo l’iperbole è una curva chiusa, almeno dal punto di vista proiettivo.
Il punto d’incontro degli asintoti è il centro di simmetria per la curva mentre le bisettrici degli asintoti (x, y uscenti dal punto d’incontro e tra loro perpendicolari) sono gli assi di iperbole ossia gli assi di simmetria per la curva. L’asse traverso o principale (indicato con X) incontra i vertici i quali sono simmetrici rispetto al centro, l’asse non traverso o secondario, invece, non incontra l’iperbole in punti reali. In questo modo assumendo le rette X,Y come assi coordinati, l’equazione iperbole si riduce ad una forma conica. Un’iperbole si definisce equilatera quanto gli asintoti sono ortogonali tra di loro e questo porta all’uguaglianza dei semiassi.
Per definire un’iperbole dobbiamo fissare due punti sul piano cartesiano, denominati F1 e F2. In questo caso definiamo il luogo geometrico dei punti che hanno come costante la differenza tra i due fuochi. Questi si possono trovare in qualsiasi punto del piano ma si definisce iperbole riferita agli assi cartesiani se si trovano su questi, simmetricamente rispetto all’origine. Possiamo suddividere le equazioni in: equazione canonica equazione dell’iperbole; iperbole equilatera che a sua volta si può suddividere in iperbole equilatera riferita ai suoi asintoti o iperbole equilatera traslata. Ovviamente, questo argomento, senza le dovute basi di algebra e geometria è completamente tabù, ma con le giuste conoscenze potrebbe essere più facile di quel che si pensa. D’altro canto, la geometria analitica, già studiata nel medioevo da Nicola d’Oresme, ha gettato le basi per il calcolo differenziale che ha portato alle grandi innovazioni e intuizioni di Isaac Newton (quello della mela in testa) e Gottfried Wilhelm Leibniz, altro scienziato, storico, matematico , logico ecc.